分数の割り算の話
分数の割り算では,割る数の分母と分子を入れ替えて掛け算する.この理由を説明するのには割り算の意味を知っている必要がある.割り算には幾つかの意味があるが,そのうち,1つあたりの量(比)の意味を考える;
例: 6個のりんごを3個ずつ袋に分けます. 全部でいくつの袋ができるでしょうか.
6(個) ÷ 3(個) = 2(袋)
答え:2袋
ここで,
⬜︎ ÷ ◯ = △
のとき,⬜︎を割られる数、◯を割る数,△を商という.
割り算の計算の結果△は,”◯を”1”とした時に⬜︎はいくつか” ということを意味している.大事なのは「”1”にしたい方を÷の後ろに置く」ことである.
実際,前の例では,
6÷3 = 2 だから,3を”1”と数える(袋に3こずつ入れて,3個を1袋と数えることにする)と,6は”2”(2袋)と数えることができるという意味である.
この関係は,比によって表すこともできる.
すなわち
6 : 3
と数字を並べて書いておいて,右側の3を3で割って1にするのと同時に左の数も割ると
(6 ÷3):(3÷3) = 2:1
この式の意味もやはり,「3を”1”と数える(袋に3こずつ入れて,1袋と数えることにする)と,6は”2”(2袋)と数えることができる」という意味である.
それでは,分数どうしでこの計算をやってみよう.
3/2 : 4/3
の右側を1にすることを考える.ここで,3/2は”2分の3”=1.5 である.
まず,両方に3をかける;
(3/2 × 3) : (4/3 × 3) = 9/2 : 4 ・・・①
両方を 4 で割って
((9/2) ÷ 4) : (4 ÷ 4) = 9/8 : 1 ・・・②
だから, 4/3 を "1" と数えることにすると 3/2 は ”9/8” になる.
もう一度,①と②を見てみると,3をかけて4で割っているから,3/4 を両方に掛け算すればいっぺんにできることがわかる;
(3/2 × 3/4) : (4/3 × 3/4) = 9/8 : 1・・・③
ここで割り算に戻る.「4/3 を1としたとき,2/3 はいくつになるか」を計算する計算は
3/2 ÷ 4/3 (”1”にしたい方を÷の後ろに置く)
であった.比の計算から答えは 9/8 である.この数字はどこから出てきたかというと③の左側:(3/2 × 3/4) である.
したがって,「4/3 を1としたとき,2/3 はいくつになるか」を計算する計算式は
3/2 ÷ 4/3 (”1”にしたい方を÷の後ろに置く)
と
3/2 × 3/4 (比の計算③の左側)
の2つがある.
しかし,「4/3 を1としたとき,3/2 はいくつになるか」の答えはひとつしかないはずであるから
「3/2 ÷ 4/3」と 「3/2 × 3/4」
は同じでなければ困る.数学では”同じである”ことを ”=” とかくから
2/3 ÷ 4/3 = 3/2 × 3/4
となる.