ベクトルの話（続き） - ３限目「数学」

　平面上の２つのベクトルの和は，図形的には矢印に矢印を継ぎ足すものとして表される．前の記事で，実数自身も絶対値を大きさ，符号を向きとするベクトルとみなせることを書いた．

　実数の足し算，例えば 2 + 4 = 6 というのは，数直線上で考えると

「原点から右に２だけ進んだところから，さらに４進みなさい」

という意味である．これを言い換えると

「数直線上で，原点を始点，２を終点とする右向きの矢印（ベクトル！！）に，長さ４の右向きの矢印を継ぎ足しなさい」

という意味である．同様に 4 - 8 = - 4 というのは，4 + (-8) = -4 だから

「数直線上で，原点を始点，４を終点とする右向きの矢印（ベクトル！！）に，長さ８の左向きの矢印を継ぎ足しなさい」

という意味である．

　実は，難しく考えなくても，中学校の「正の数と負の数」を学んだときから”数直線上でのベクトルの和や差”を扱ってきているのである．これを”和や差”の性質が保たれるように（この性質は保っていてほしいと思う性質を保つように）平面上や空間のベクトルに拡張したのが”ベクトルの和と差”である．

　教科書に載っているようにベクトルの定数倍，和，差を決めると，保っていてほしいと思う性質を保ったまま，数直線上で考えたベクトルの演算（＝ふうつの実数の和と差）を平面上や空間上のベクトルに拡張できるのである．このあたりの詳細は，大学で学ぶことになる．

追記：

少し詳しく言うと，保っていてほしい”和や差”の性質というのは

　１．x + (y+z) = (x+y) +z

　２．x + 0 = 0 + x = x

　３．x + (-x) = (-x) + x = 0

　４．x + y = y + x

　５．a(x +y) = ax = a y

　６．(a+b)x = ax = by

　７．a ( bx) = (ab) x

　８．1 x = x

である．ここで，a,b は実数，x, y,z はベクトル，0 は大きさがゼロのベクトルを表す．

また，ax などは a と x の積を表す．