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分数の割り算の話

 

 分数の割り算では,割る数の分母と分子を入れ替えて掛け算する.この理由を説明するのには割り算の意味を知っている必要がある.割り算には幾つかの意味があるが,そのうち,1つあたりの量(比)の意味を考える;

 

例: 6個のりんごを3個ずつ袋に分けます. 全部でいくつの袋ができるでしょうか. 

 

 

6(個) ÷ 3(個) = 2(袋) 

答え:2袋

 

 

ここで, 

  ⬜︎ ÷ ◯ = △ 

のとき,⬜︎を割られる数、◯を割る数,△を商という.

 

割り算の計算の結果△は,”◯を”1”とした時に⬜︎はいくつか” ということを意味している.大事なのは「”1”にしたい方を÷の後ろに置く」ことである.

 

 

実際,前の例では,

 

6÷3 = 2 だから,3を”1”と数える(袋に3こずつ入れて,3個を1袋と数えることにする)と,6は”2”(2袋)と数えることができるという意味である.

 

 この関係は,比によって表すこともできる.

 すなわち

   6 : 3

と数字を並べて書いておいて,右側の3を3で割って1にするのと同時に左の数も割ると

 

(6 ÷3):(3÷3) = 2:1

 

この式の意味もやはり,「3を”1”と数える(袋に3こずつ入れて,1袋と数えることにする)と,6は”2”(2袋)と数えることができる」という意味である.

 

 それでは,分数どうしでこの計算をやってみよう.

 

3/2 : 4/3   

 

の右側を1にすることを考える.ここで,3/2は”2分の3”=1.5 である.

 

まず,両方に3をかける;

 

(3/2 × 3)  :  (4/3 × 3) = 9/2 : 4 ・・・①

 

両方を 4 で割って

 

((9/2) ÷ 4) : (4 ÷ 4) = 9/8 : 1 ・・・②

 

だから, 4/3 を "1"  と数えることにすると 3/2 は ”9/8” になる.

 

もう一度,①と②を見てみると,3をかけて4で割っているから,3/4 を両方に掛け算すればいっぺんにできることがわかる;

 

(3/2 × 3/4) : (4/3 × 3/4) = 9/8 : 1・・・③

 

ここで割り算に戻る.「4/3 を1としたとき,2/3 はいくつになるか」を計算する計算は

 

3/2 ÷ 4/3 ”1”にしたい方を÷の後ろに置く

 

であった.比の計算から答えは 9/8 である.この数字はどこから出てきたかというと③の左側:(3/2 × 3/4) である.

 

 したがって,「4/3 を1としたとき,2/3 はいくつになるか」を計算する計算式は

 

 3/2 ÷ 4/3 ”1”にしたい方を÷の後ろに置く

 

 

   3/2 × 3/4 (比の計算③の左側

 

の2つがある.

 

 しかし,「4/3 を1としたとき,3/2 はいくつになるか」の答えはひとつしかないはずであるから

 

「3/2 ÷ 4/3」と   「3/2 × 3/4

 

は同じでなければ困る.数学では”同じである”ことを ”=” とかくから

 

2/3 ÷ 4/3  = 3/2 × 3/4

 

となる.

 

 

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