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「εとδと連続と」(大学生向け)

 いきなり数学の話から(ε はイプシロンと読み,δ はデルタと読む).

 

定義:

a を実数とする.f を点 a の周り(近傍)で定義された関数とする.関数 f が点 a において連続であるとは,

 任意の正の数 ε  に対してある正の定数 δ が存在して

 | x -  a| < δ を満たすすべての x に対して  | f(a) - f(x) | < ε が成りたつことである.

 

 

 

 

これは大学数学で学ぶ関数の連続性の定義の一つであり,俗に言う「イプシロン-デルタ 論法」である.

 この定義の分かりにくさ(すぐに意味がわかった人はこの先を読まなくても良い)について,考えをこの記事に書く.

 

 まずは中学校で習う関数の定義から;

  

定義:

 y が x の関数であるとは,x の値がただ一つに定まったとき,その xの値 に対して y の値がただ一つ定まるときをいう.

 

記号:この対応を記号 f などでかき,y = f(x)  などと表す

 

 2つの定義を見比べると,関数の定義では,

 

「x が決まる」→ 「y が決まる」 

 

の順番になっている.中学校ですでにこのようにならうので,その後高校の3年間も含めて我々の頭には

 

「関数について議論するときには,つねにx  (独立変数)が先に決まり,その後に y や f(x)  の値が決まる」

 

 という順序が刷り込まれてしまっている.

 

 一方,イプシロン-デルタ論法による連続性の定義でまず最初に述べられるのは(どんな(小さな)値にとっても良い) イプシロンである.そのイプシロンが何を決めるかというと,f(a) と f(x) の値の差の大きさである.

 それに対して,デルタを(いくつあるかもわからないけど,少なくとも1つ)選んで,x と a との距離が  δ より小さくなる”すべての"xについて,f(a) と f(x) の差の大きさがイプシロンより小さくなるようにできるときを,連続であると定義している.

 

大雑把に言えば;

 

 イプシロン-デルタ論法による連続性の定義は,関数の定義の順

 

「x  (独立変数)が先に決まり,その後に y や f(x)  の値が決まる」

 

とは逆に,f(x) の値を先に制限して,その制限を満たすような x についての条件を述べている;

 

「f(x) の値を f(a) のどんなに近くに制限しても」

→ 

「"その制限を満たす入力は |a-x| < δを満たす x すべてである ” ような δがあること」

 

 先に x (="入力")を考えるのではなく,f(x) (="出力")(の制限)を先に考えるというのがポイントのように思う.これさえ気をつければ,あとは時間をかけて考えれば分かるのではないだろうか.

 関数が連続であるとはグラフが切れ目なく繋がっていることであるというのも,色々なグラフを描いて考えてもらえば,納得してもらえるだろう.

  

 中学校のときに先生の説明を聞いてからずっと「関数について考えるときは x(についての条件) が先に決まって y(についての条件) が後に決まる」と思い込んでいると,イプシロン-  デルタ  論法による連続性の定義は分かりにくい.

 

 今回は真面目な記事でした(他の記事も真面目に書いてるつもりなんだけどね)...

 

 

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